这道题是描述这样一个规律:定义域对称的函数f(x),总是能被分解为偶函数g(x)与奇函数h(x)之和。
书中使用代数解,很清晰简洁。f(x)+f(-x) 肯定是 偶函数,f(x)-f(-x)肯定是奇函数。所以 这个偶函数+这个奇函数=2f(x);也就能拼出f(x)了(奇偶函数各/2就可以);
但我是个几何癌,总觉得不能图形表达的都不够直观。虽然逻辑清晰但还不够眼见为实的感觉(可能是我脑回路有问题容易犯晕),所以这里用图形解一下,没任何高深之处就是代数的翻译而已。
给定一条任意曲线f(x),取a和-a观察
设g(a) 为 f(a) 与f(-a) 中心点,那么g(a)必为偶函数(不会随着f(a),f(-a)互换高度 而改变),
设h(a)为 f(-a) 与f(a) 高度差,那么h(a) 必为奇函数(随着f(a),f(-a)互换高度 而正负相反)
那么根据梯形公式中位线定理:(上底+下底)/2 =中位线,所以(f(a)+(f(a)+h(a)))/2=g(a);所以 f(a)=g(a)-h(a)/2; 因为h(a)为奇函数 那么-h(a)/2 也为奇函数。所以f(x)可分解为 偶函数与奇函数之和。证明完毕。(好像更复杂了~_~)